Innovación, Matemáticas, Empresas

(Conférence Inaugurale)

Mikel LEZAUN ITURRALDE

Université du Pays Basque (Espagne)

Section d’Algèbre et Analyse Fonctionnelle

Mathematical Cryptology : an Introduction (Cours)

María Isabel GONZÁLEZ VASCO

Université du Roi Juan Carlos (Espagne)

Abstract.  In this course, we would like to give an overview of the frontier topics usually addressed by the term « Mathematical Cryptology », which consists of cryptologic problems closely linked to mathematics. Some of these problems in the end reduce to mathematical questions that can be understood and studied independently from the original cryptologic context. To illustrate this interplay between Mathematics and Cryptology, we focus on the topic of  public key encryption methods.  Our three hour course will at least cover the most popular underlying mathematical  problems used in public key encryption, the analysis of some cryptanalytic attacks, and the introduction to formal models for security proofs.

C*-algebras of quotients (Cf.)

Pedro ARA BERTRAN

Université Autonome de Barcelone (Espagne)

Abstract. We show how some standard algebraic localization techniques can be extended to the context of C*-algebras.

   Various illustrative examples will be analyzed, and the connection with the theory of injective envelopes of C*-algebras will be outlined. (Joint work with Matin Mathieu, Belfast.)

La Cryptographie Arabe en Andalousie (Cf.)

Abdelmalek AZIZI

Faculté des Sciences, Université Mohammed Premier, Oujda

et

Académie Hassan II des Sciences et Techniques

Résumé. L’Andalousie sous l’égide des Musulmans avait connu une déchirure après l’année 1010. Elle était devenue un ensemble de plusieurs petits royaumes. Chacun des rois de ces petits royaumes voulait unifier l’Andalousie sous son autorité, ce qui avait mis l’Andalousie dans un état de Guerre, entre tous ces royaumes, entre 1010 et 1085.

L’Epoque des petits royaumes, où il y avait un état de guerre civile entre ces derniers, avait connu un développement de méthodes d’écriture des messages secrets. En particulier, le Roi Al Moetamid Ibno Abbad et son ministre Ibn Zaidoun avaient développé une méthode qu’on va décrire dans cette conférence.

Quelques propriétés des cônes dans les espaces de Banach (Cf.)

Abdelhamid BOURASS

Faculté des Sciences, Université Mohammed V, Rabat

 (Co-auteurs: L. Lafhim; M. Oudadess)

Résumé. Les notions de cône et d’ordre sont intimement liées. L’une peut générer l’autre. Il n’est pas étonnant de constater qu’une multitude de cônes ont été introduits en Optimisation, ou l’art de comparer des objets mathématiques. A ma connaissance le précurseur de l’étude des propriétés géométriques des cônes fût G. Choquet qui s’est rendu compte de l’importance de considérer les compacts convexes comme bases de cônes convexes et qui a introduit à l’occasion un langage qui interpelle l’intuition géométrique (chapeau, bien coiffé, semelle...). Deux aspects sont présentés dans cet exposé: Propriétés géométriques et extrémales du sommet, et utilisation des cônes à des fins topologiques.

 I- Soit X un espace de Banach de dual X’, C un cône convexe fermé saillant de sommet 0 (ie: C Ì C, "l ³ 0, C+C Ì C et CÇ(-C) = {0}). Soit C⁺ = {x’ÎX’ : x’x ³ 0 pour tout x Î C}, et

C⁺* = {x’ÎX’ : x’x > 0 pour tout x Î C-{0}}

 Définitions. Un cône convexe C Ì X admet une base s’il existe une partie B Ì X convexe fermée ne contenant pas 0 telle que pour tout x Î C il existe l ³ 0 et b Î B uniques tels que x = lb. Si de plus B est bornée, on dit que C est à base bornée ou C est bien basé.

    Soit x’ Î X’ et a > 0, la tranche de C en 0 définie par x’ et a est l’ensemble T(C, x’, a) = {xÎC : x’x £ a}. Le sommet 0 est fortement exposé dans C si l’une des deux propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

 (i) "e > 0 il existe x’ÎX’ et a > 0 tels que la tranche T(C, x’, a) soit de diamètre plus petit que e.

 (ii) il existe x’ÎC⁺* tel que toute suite (x_n)_n de C est convergente en norme dès que x’x_n ® 0.

   On notera par la suite SE(C) l’ensemble des formes linéaires qui exposent fortement 0 dans C.

  Un exemple de cône convexe fermé de sommet fortement exposé est le cône de Bishop-Phelps, défini pour x’ÎX’ et "e > 0 par,

C(x’, e) = {xÎX : x’x-e||x||£ 0}.

 Propriétés 1 (a) Les conditions suivantes sont équivalentes :

 (i) C^-* ¹ Æ

(ii) le cône C admet une base

(iii) il existe x’ÎX’ tel que pour tout a < 0 l’ensemble {x’ = a}ÇC est une base de C.

 (b) Les conditions suivantes sont équivalentes :

 (i) SE(C) ¹ Æ

(ii) le cône C admet une base bornée

(iii) il existe x’ÎX’ tel que pour tout a < 0 l’ensemble {x’ = a}ÇC est une base bornée de C.

 
Propriétés 2 Les assertions suivantes sont équivalentes :

 (i) 0 est fortement exposé par x’ dans C

(ii) il existe e > 0 tel que C Ì C(x’, e).

 
Propriété 3 On suppose que SE(C) ¹ Æ et soit

e(x’) = sup{e > 0 : C Ì C(x’, e)}. Alors

 (1) C Ì C(x’, e(x’))} et e(x’) < ||x’||

(2) si e₁ < e₂ < e(x’) < e, alors C Ì C(x’, e(x’)) Ì C(x’, e₂) Ì C(x’, e₁) et

     C Ë C(x’, e)

(3) si e < e(x’) alors C-{0} Ì int(C(x’, e(x’))) Ì int(C(x’, e)) et

     0 Ï int(C(x’, e(x’)))

(4) C(x’, e) = Ç_0<e£e(x’)C(x’,e)

 Propriétés 4 On suppose que SE(C) ¹ Æ. Alors SE(C) = SE(C)+C⁺ et

C = Çx’ÎSE(C){x’£0}.

Pour toute partie finie F Ì SE(C) on note C_F le cône convexe fermé C_F = Ç_x’ÎFC(x’). Alors F Ì SE(C_F), et C Ì Ç_x’ÎSE(C)C(x’) = Ç_FÎPf(SE(C))C_F, où P_f(SE(C)) désigne l’ensemble des parties finies de SE(C).

Propriété 5 Soit K un convexe faiblement compact de X tel que C Ç K = Æ. Si SE(C) ¹ Æ, il existe une partie finie F Ì SE(C) telle que C_F Ç K = Æ.

 Propriété 6 Soit A une partie convexe fermée de X telle que AÇC = {0}. Soit F une partie finie de SE(C), x’Î F, un réel a > 0 et T = AÇT(C_F, x’, a). On suppose que {x’ = a} Ç A Ç C_F est faiblement compact. Alors il existe une partie finie F₁ de SE(C) telle que F₁ É F et A Ç C_F1 Ì T.

 
Une application Un élément de A est un point maximal de A par rapport à C si A Ç (x + C) = {x}. On note E(A,C) l’ensemble des points maximaux de A.

   Soit C un cône convexe fermé et A une partie de X convexe fermée. On suppose que SE(C) ¹ Æ et que {x’ = a} Ç A Ç C_F est faiblement compact pour tout F Î P_f(SE(C)), tout x’ Î F, et tout a < 0. Alors :

 
È_FÎPf(SE(C))E(A,C_F) Ì E(A,C) Ì `È_FÎPf(SE(C))E(A,C_F)

 II- Dans cette partie X est un espace localement convexe

C_b(X) = {B Ì E : B convexe fermé borné avec 0 Ï B}

C_k(X) = {B Ì E : B convexe compact avec 0 Ï B}

K(B) = {tb : t ³ 0, b Î B} le cône de sommet 0 engendré par B. Pour p_l semi-norme continue sur X, x’ ÎX’-{0} et e > 0 posons C(x’, p_l, e) =

{x Î X : p_l(x) £ 1, x’(x) ³ e} et notons K(C(x’), p_l, e) le cône de sommet 0 engendré par C(x’, p_l, e).

   Soit D Ì X

 1) D est coniquement borné si D Ç K(B) est borné pour tout B Î C_b(X).

2) D est p-coniquement borné (p.c - borné) s’il existe une semi-norme p_l continue sur X telle que D Ç K(C(x’, p_l, e)) est borné pour tout x’ Î X’-{0} et e > 0.

3) D est coniquement compact (c - compact) si D Ç K(B) est compact pour tout B Î C_k(X).

 4) D est p - coniquement relativement compact (p.c.r - compact) s’il existe une semi-norme p_l continue sur X telle que D Ç K(C_f(x’, p_l, e)) est relativement compact pour tout x’ Î X’-{0} et e > 0.

 Propriété 1 Toute partie p.c.r - compact d’un e.l.c.s. est c.r - compact. La réciproque est vraie dans un normé.

 
Propriété 2 Soit K un cône convexe de sommet 0 dans un e.l.c.s. (E, t). Sont équivalentes:

 a) Il existe une partie p.c.r - compact K non borné.

b) Il existe une suite dans K faiblement convergente vers 0 mais non t - convergente.
 
Cela peut s’énoncer autrement

 a) K a la propriété de Schur.

b) Toute partie p.c.r - compact de K est bornée.

 Propriété 3 Un e.l.c.s. est de dimension finie si et seulement si il admet un voisinage p.c.r – compact.

 Simple modular Lie superalgebras (Cf.)

Alberto Carlos ELDUQUE PALOMO  

Université de Saragosse (Espagne)

Abstract.  Models of the exceptional objects that have appeared in the recent classification by Bouarroudj, Grozman and Leites of the Lie superalgebras with indecomposable symmetrizable Cartan matrices will be obtained.

   The models relate these exceptional Lie superalgebras to some low dimensional nonassociative algebraic systems.

Sous-anneaux des FGI-anneaux (Com.)

Mamadou BARRY   

Faculté des Sciences et Techniques

Université Cheikh Anta Diop, Dakar (Sénégal)

Résumé. Soit A un anneau et _AM un A-module à gauche. On suppose A associatif non nécessairement commutatif, unitaire d’élément unité 1_A ¹ 0 un A-module à gauche M vérifie la propriété (I) (resp. (S)) si tout endomorphisme injectif (resp. surjectif) de M est un automorphisme de M. On dit qu’un anneau A est un FGI-anneau à gauche si tout A-module à gauche vérifiant la propriété (I) est de type fini. A est un FGI-anneau à droite si tout A – module à droite vérifiant (I) est de type fini. A est une FGI-anneau si A est à la fois FGI-anneau à gauche et à droite. On rappelle que si A est commutatif ou si A est un duo-anneau, la classe de FGI-anneau coïncide celle des anneaux artiniens à idéaux principaux.

   Dans cette communication nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour qu’un sous – anneau d’un FGI – anneau soit un FGI – anneau.

Ainsi nous démontrons que si B est un sous-anneau d’un FGI-anneau artinien à gauche A tel que B soit contenu dans le centre Z(A) de A et A soit B-module plat de type fini. Alors B est un FGI-anneau à gauche.

Point fixe dans deux espaces symétriques  (Com.)

Abdelhafid BASSOU

Faculté des Sciences Ben M’Sik,

Université Hassan II-Mohammedia, Casablanca

Résumé. Dans cette communication, nous établissons des théorèmes du point fixe de la composée de deux applications définies dans deux espaces symétriques généralisant ainsi les résultats obtenus par B. Fisher [1] (Joint work with S. Bennani, M. Aamri and D. El Moutawakil).

[1] Fisher B. Fixed point on two metric spaces [J]. Glasnik Matcmatia˛cki, 1981, 16 (36):333-337.

Locally linearly dependent operators and the range of derivations in Banach algebras (Com.)

Nadia BOUDI

Université Moulay Ismail, Meknès

Abstract. We show how results on locally linearly dependent operators can be applied to the study of the range of continuous derivations in Banach algebras (joint work with Peter Semrl).

Les mathématiques et la sécurité de l’information (Com.)

M’hammed BOULAGOUAZ

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès  

Résumé. Si on peut présenter la cryptographie (respectivement le codage), comme le domaine de la science qui a comme centre d’intérêt la protection de l’information contre une tierce personne estimée indésirable (respectivement contre le bruit), elle est restée un domaine quasi réservé aux militaires et aux hommes d’état. En effet, les gouvernements pour assurer les secrets de leurs communications internes et diplomatiques, les armés pour cacher leurs plans à l’ennemi, cryptaient leurs correspondances et communications. A travers toute l’histoire de l’humanité connue à nos jours, les sciences exactes n’ont offerts à la cryptographie que des techniques très élémentaires. Mais dès l’entré du dernier quart du siècle du siècle dernier, et avec la croissance de la quantité d’information transitant sur les réseaux internationaux impose de les crypter pour en assurer la confidentialité et la sécurité. Ainsi la cryptographie et les problèmes qui lui sont associés vont occuper le premier rang des préoccupations et des centres d’intérêt de la communauté scientifique, pour permettre d’éviter l’interception, la lecture ou la modification des messages en clair, ainsi que la fabrication d’un message factice. De même qu’on peut présenter la théorie des codes, comme le domaine de la science qui a comme centre d’intérêt la protection de l’information contre une tierce personne qui est le bruit. Si cette science est relativement très récente relativement à la cryptographie, les mathématiques se sont imposées très tôt au cœur de cette discipline, en effet l’algèbre linéaire, les polynômes et la géométrie, pour ne citer que ces disciplines, sont à la base de cette science. A travers toute l’histoire de l’humanité connue à nos jours, les sciences exactes n’ont offerts à la cryptographie que des techniques très élémentaires. Mais dès l’entré du dernier quart du siècle du siècle dernier, et avec la croissance de la quantité d’information transitant sur les réseaux internationaux impose de les crypter pour en assurer la confidentialité et la sécurité. Ainsi la cryptographie et les problèmes qui lui sont associés vont occuper le premier rang des préoccupations et des centres d’intérêt de la communauté scientifique, pour permettre d’éviter l’interception, la lecture ou la modification des messages en clair, ainsi que la fabrication d’un message factice.

    Dans cet exposé on donnera les grandes lignes du comment les mathématiques ont pu révolutionner se domaine de la cryptographie et la théorie des codes ? Et comment des disciplines mathématiques qualifiés d’abstraits (Algèbre, théorie des nombres, géométrie..) sont à la base de la révolution que connaissent les sciences de l’information depuis la fin du vingtième siècle ? (révolution que connaît les télécommunications, l’Internet, les cartes à puces, le Commerce électronique..)

   Dans cet exposé, on montre qu’avant l’arrivée des ordinateurs, la cryptographie se contentait de formes très simples telles que la substitution ou la translation de caractères, ou au meilleur des cas des systèmes comprenant  les deux, et que malheureusement ces systèmes étaient très vulnérables et que c’est en fait les mathématiques, notamment l’algèbre, la géométrie, la théorie des nombres qui ont donné  les outils nécessaires à la conception d’algorithmes quasi sûrs à la cryptographie.

On finite dimensional absolute valued algebras with left unit satisfying (x², x², x²) = 0  (Com.)

Ahmed CHANDID   

Faculté des Sciences Ben M’Sik,

Université Hassan II-Mohammedia, B.P. Casablanca

Abstract. We give a description for all 4-dimensional absolute valued algebras satisfying the identity (x², x², x²) = 0. Such an algebras contains always a 2- dimensional subalgebra. Next, we provide some examples of 8-dimensional absolute valued algebras with a nonzero flexible idempotent satisfying   (x², x, x²) = (x², x², x²) = 0  and containing no 4-dimensional subalgebras (Joint work with Abdellatif Rochdi).

Key words. Absolute valued algebra (with involution), central (flexible) idempotent.

Sur une nouvelle modification de certaines Variantes du crypto-système ELGAMAL (Com.)

Saw DJIBY    

Faculté des Sciences et Techniques,

Université Cheikh Anta Diop, Dakar (Sénégal)

Résumé : Dans ce travail, nous proposons un nouvel algorithme probabiliste de cryptographie à clé publique et un nouveau schéma de signature digitale. Ils constituent  une nouvelle modification en un certain sens de certaines variantes du crypto-système de Elgamal. Notre schéma, bien basé sur le Problème du Logarithme Discret, est plus sure que certaines variantes des schémas de Elgamal en certain sens. L’algorithme de génération de clés et les procédés de chiffrement et de signature proposés, sont une modification légère de ceux d’Elgamal. Mais, il n’est pas nécessaire, comme c’est le cas dans Elgamal, de toujours publier le générateur et l’ordre du groupe (ou du sous-groupe). Ainsi, dans certains cas, cela peut constituer une parade à certaines attaques telles que celles basés sur les générateurs « faibles » pour la signature Elgamal.  De plus notre système, non seulement s’adapte à toutes les variantes d’Elgamal, mais offre beaucoup plus de possibilités même s’ils sont similaires en un certain sens. Les crypto-systèmes que nous proposons ont à peu près la même efficience que ceux basés sur des variantes connues du système Elgamal (avec Mamadou G. CAMARA  et Ahmad Youssef OULD CHEIKH).

Mots clés : Cryptosysteme à clés publique, logarithme discret, signature, chiffrement, homomorphie, attaque, sécurité prouvé, courbes elliptiques,  chiffrement probabiliste, Elgamal, Cryptosystème.

Abstract “A new Modification of some Variants of ELGAMAL Shemes”. In this work, it was successfully proposed a new probabilistic encryption scheme and some new digital signature schemes which are a modification in some sense of those based on the variants of Elgamal cryptosystem. Our schemes are based on discrete logarithm problem but are more secure that those of Elgamal in some sense. The key generation algorithm for the encryption and signature mechanisms proposed is a slight modification of those of Elgamal. But it is not always necessary to publish the generator of the group (or the subgroup) and his order hence one can use this fact to avoid most of the known attacks based on weak generators. Furthermore, there exist much more variants for our signature that those of Elgamal even if they are similar in some sense. The new cryptosystem has approximately the same efficiency that those of Elgamal but can works in much more groups that Elgamal cryptosystem.

Keywords: Public key cryptosystem, encryption algorithm, provable security, homomorphic, probabilistic, digital signature, attack, RSA, Elgamal, Discrete Logarithm Problem, elliptic curves

Topologie des éléments extrémaux (Com.)

Bouchta HMIMINA

Université Ibnou Zohr, Agadir

Résumé. On étudie les propriétés topologiques de l’ensemble des éléments extémaux d’un ensemble préordonné muni d’une topologie spéciale. On s’intéresse plus particulièrement au cas des espaces finis. L’introduction d’une telle topologie n’est pas dénuée d’applications pratiques. Elle permet d’affirmer que l’ensemble des éléments maximaux d’un ensemble préordonné est toujours de petite taille. Comme exemple amusant, la réponse à la question : Pourquoi depuis toujours, il y a si peu de gens milliardaires ?

Localisation dans les duo-anneaux (Com.)

Mohamed MAAOUIA BEN FRAJ 

Université Gaston Berger de Saint Louis, Dakar (Sénégal)

Algebras of quotients of  graded Lie algebras (Com.)

Juana SÁNCHEZ ORTEGA  

Université de Málaga (Espagne)

Abstract. It is a joint work with M. Siles Molina. We introduce here graded algebras of quotients of graded Lie algebras. We also show that the study of Jordan systems of m-quotients can be seen under the umbrella of quotients in the Lie setting, via the Tits-Kantor-Koecher construction.

Chain conditions on Leavitt path algebras  (Com.)

Mercedes SILES MOLINA    

Université de Málaga (Espagne)

Abstract. The origin of Leavitt path algebras can be traced back to the pioneering work of Leavitt in his quest for finding universal rings failing to satisfy the IBN property, although they have only come to life as such in recent years. On the other hand, they are the algebraic counterpart of graph C*-algebras.

As with their analytic relatives, Leavitt path algebras provide a source of examples of rings whose algebraic structure is determined by highly visual properties of the underlying graph. For example, conditions on the graph allow us to decide when the corresponding Leavitt path algebra is simple, purely infinite simple, exchange, etc. Some of the graph conditions parallel the corresponding structural properties that one encounters in C*-algebras, but the routes towards the proofs are in general quite different.

Sur les groupes fortement Hopfiens (Com.)

Abdelalim SEDDIK    

Faculté des Sciences, Université Mohammed V, Rabat

Résumé. Soit A un groupe abélien, A est dit fortement hopfien si pour tout endomorphisme f de A la suite ker(fⁿ) est stationnaire. Dans ce travail nous avons caractérisé les groupes abéliens fortements hopfiens dans la catégorie des groupes abéliens de torsions. Nous avons montré que si A est fortement hopfiens alors la p-composante est encore fortement hopfiens mais pour la partie de torsion, nous avons construit un groupe abélien fortement hopfiens dont la partie de torsion n’est pas fortement hopfien.

Section d’Analyse Numérique, EDP et Traitement Informatique

Shock Capturing Schemes for Hyperbolic Conservation Laws :  Modern Developments and Applications (Cours)

Rosa María DONAT BENEITO

Université de Valence (Espagne)

Abstract.  Over the lest decades, shock capturing schemes have established themselves as powerful numerical techniques to handle simulations involving shock waves and material interfaces. In this course, we shall provide an overview of the theory, from the early beginning until the latest state-of-the-art developments.

   The essential features, namely  conservation form, high resolution definition of numerical flux functions and nonlinear reconstruction techniques, will be covered. Special emphazis will be put on finite-difference techniques, in particular in connection with more complex problems like multifluids or balance laws.

Subspace Correction Methods for discontinuous Galerkin approximations of elliptic problems (Cf.)

Blanca Pilar AYUSO DIOS  

Université Autonome de Madrid (Espagne)

Abstract.  Over the lest decades, shock capturing schemes have established themselves as powerful numerical techniques to handle simulations involving shock waves and material interfaces. In this course, we shall provide an overview of the theory, from the early beginning until the latest state-of-the-art developments.

   The essential features, namely  conservation form, high resolution definition of numerical flux functions and nonlinear reconstruction techniques, will be covered. Special emphazis will be put on finite-difference techniques, in particular in connection with more complex problems like multifluids or balance laws.

Some recent results on exact controllability to trajectories for parabolic systems (Cf.)

Manuel GONZÁLEZ BURGOS   

Université de Séville (Espagne)

Abstract. In this talk we will show some recent results on the exact controllability to the trajectories of parabolic systems when we exert on the system distributed or boundary controls. To be precise, we will describe some controllability results for the scalar heat equation posed on a bounded or unbounded domain. Next, we will deal with the controllability problem for some coupled parabolic systems : among them, reaction-diffusion systems, Navier-Stokes equations, the Boussinesq system, etc. The controllability results obtained for the previous problems will be deduced as a consequence of global Carleman inequalities satisfied by the corresponding adjoint problems.  

Control of Immunotherapy (Cf.)

Khalid KASSARA  

Université Hassan-II Ain Chock, Casablanca  

Abstract. In this talk, immunotherapy is set as an asymptotic constrained nullcontrollability problem, taking into consideration a general tumor dynamics versus the immune system. Then a set-valued approach based on viability theory, is used to build immunotherapy protocol (itp) laws with which cancer cells can be phased out while reducing damage to healthy cells. As a noteworthy fact in cancer modeling, it is demonstrated that either of the three events below may hold for a cancer patient :

(i)   His cancer is less developed, it can be cured with an itp law.

(ii)  The cancer is developed, it may be cured too, but with undesirable

       effects in the beginning of the therapy.

(iii) The cancer is so advanced that it is not curable.

An immunotherapy model of the literature is studied to illustrate the approach.

Communication numérique : Modélisation et Simulation de la file d’attente d’un autocommutateur optique dans le domaine de la Télécommunication (Cf.)

Abdelouahed NAMIR     

Université Hassan-II Mohammedia, Casablanca

Résumé. La masse d’information (trafic) à transporter ou à traiter dans les réseaux de télécommunication ne cesse pas d’augmenter. La complexité des systèmes et l’apparition de la fibre optique à grande capacité a permet aux chercheurs dans ce domaine de développer des technologies pour gérer des communication à très haut débit. C’est dans cet esprit où se situe ce projet. Il s’agit de développer mathématiquement et algorithmiquement des méthodes pour gérer la file d’attente d’un autocommutateur optique qui reçoit des paquets porteur de l’information sous forme : transport du texte ou de la voix ou de l’image. C’est-à-dire :

•       gérer la file d’attente à l’entrée de l’autocommutateur ;

•   minimiser l’acheminement des paquets de l’entrée à la sorties de l’autocommutateur ; 

•        gérer les conflits entre les paquets à la sortie de l’autocommutateur.

 
Les phases de ce projet sont organisées de la manière suivante :

1. Modélisation, analyse et contrôle optimal de la file d’attente d’un autocommutateur optique ;

2.   Simulation et programmation de la file d’attente d’un autocommutateur optique ;

  3. Conception et réalisation d’un logiciel d’aide à la planification de la file d’attente d’un autocommutateur optique dans le domaine des Télécommunications.

Multiscale stabilization and mesh refinement

for advection diffusion problems (Com.)

Boujamâa ACHCHAB

Faculté des Sciences, Université Mohammed V, Rabat

Abstract. We derive a residual a posteriori error estimator for the multiscale stabilization of advection dominated diffusion equation. The estimator yields upper bound on the error which is global and lower bound that is local. Numerical studies show the behaviour of the error indicator and how it is robust to deal with singularities as boundary or interior layers (joint work with M. El Fatini, A. Ernc and A. Souissi).

Keywords. A posteriori estimates, multiscale stabilization, advection diffusion.

Le web-service un atout majeur pour l’apprentissage sur Internet (Com.)

Tawfiq BENABBOU     

Université Hassan-II Mohammedia, Casablanca

Abstract. Our objective is since from a set of models developed for actors of the formation we derive from it the specifications and criterias permitting to compare the e-learning platform then to present our approach to develop our project e-learning. Our LearnServe system builds on the assumption that a typical learning system is a collection of activities or processes that interact with learners and suitably chosen content, the latter in the form of learning objects. This enables us to subdivide the main functionality of an e-learning system into a number of stand-alone applications, which can then be realized individually or in groups as Web services. The implementation of these services enables a reuse of functionalities of an e-learning platform. The interesting aspect of this idea is the fact that these three components of an e-learning system can be logically and physically distributed, i.e., installed on distinct machines and offered by different providers or content suppliers. In order to make such a distribution feasible, standards such as IMS and SCORM ensure plug-and-play compatibility to a large extend (with F. Benabbou, A. Tragha and M. Hanoune)

Deux modèles de corrélation pour l’estimation séquentielle d’une espérance conditionnelle (Com.)

Abdelkrim BENNAR       

Université Hassan-II Mohammedia, Casablanca

Résumé. Dans ce travail, on s’intéresse à l’étude de deux modèles de corrélation pour l’estimation séquentielle d’une espérance conditionnelle par approximation stochastique. Nous présentons des résultats de convergence presque sûre et en moyenne quadratique d’un processus d’approximation stochastique séquentielle, en utilisant deux modèles de corrélation celui de LJUNG [7] et celui de MONNEZ [9] (Joint work with A. BOUAMAINE and A. NAMIR)

Références

[1] A.E. Albert and L.A. Gardner, « Stochastic Approximation and

     Nonlinear Regression, Research Monograph 42 », The M.I.T. Press,

    Cambridge, Massachusetts (1967).

[2] A. BENNAR, « Approximation stochastique : Convergence dans le cas de

     plusieurs solutions et étude de modèles de corrélations ». Thèse de

    doctorat de 3^e cycle, Université de Nancy I, 1985.

[3] D.C. FARDEN, « Stochastic approximation with correlated data. I.E.E.E. »

     Transaction on information theory, vol. IT-27, n°1, janvier (1981).

[4] T. Glad and L. Ljung : « Control Theory : Multivariable and Nonlinear

      Methods », Taylor-Francis, London, 2000, ISBN 0-7484-0878-9, 467 pages.

[5] L. GYORFI, « Stochastic Approximation From Ergodic Sample For Linear

      Regression », Zeit. Fur Wahr theorie, Vol 54, N°1,47-53 (1980).

[6] L. Ljung and T. Glad,  « Modeling of Dynamic System », Prentice Hall,

      Englewood Cliffs, NJ, 361 pages, ISBN 0-13-597097-0, 1994.

[7] L. LJUNG, « Strong convergence of a stochastic approximation

     algorithm ». A.S., 1978, Vol 6, N°3 , 680-696.

[8] L. Ljung, G. Pflug and H. Walk : « Stochastic Approximation and

     Optimization of Random Systems », Birkhäuser, Berlin, 113 pages ISBN

     3-7643-2733-2, 1992.

[9] J.M. MONNEZ, « Etude d’un processus général multidimensionnel

     d’approximation stochastique sous contraintes convexes. Applications a

     l’estimation statistique ». Thèse de doctorat d’Etat es Sciences

     Mathématiques, Université de Nancy I, 1982.

[10] H. ROBBINS-MONRO, « A stochastic approximation method ». A.M.S. , 1951, Vol 22, 400-407.

[11] H. ROBBINS, D. SIEGMUND, « A convergence theorem for nonnegative

       almost supermartingales and some applications. Optimizing methods

       in statics », edited by J.S. RUSTAGI, Academic Press, New York, 1971,

       233-257.

[12] R. VON MISES et H. POLLACZEK-GEIRINGER, « Practische Verfahren

       der Gleichungsauflusung, Ztschr fur angen ». Math. Und Mech. Band 9

       Heft 1, 1929, p. 58-77.

Famille d’inégalités intégrales pour la loi gaussienne (Com.)

Abdellatif BENTALEB              

Université Moulay Ismail, Meknès

Résumé. On considère le semi-groupe gaussien. On établit par une méthode élémentaire utilisant essentiellement une relation de commutation du semi-groupe avec le gradient, une famille d’inégalités intégrales recouvrant l’inégalité de sobolev-Logarithmique et de Poincaré.

 New exact solutions for a Benjamin-Bona-Mahony-Burgers equation (Com.)

Maria Santos BRUZON GALLEGO      

Université de Cádiz (Espagne)  

Abstract. The application of Lie transformations group theory for the construction of solutions of nonlinear partial differential equations is one of the most active fields of research in the theory of nonlinear partial differential equations and applications. Symmetries and reductions technique are applied to a Benjamin-Bona-Mahony-Burgers equation. By using the G’/G-expansion method we obtain new exact solutions.

Multiscale stabilization and mesh refinement for convective dispersive transport (Com.)

Mohamed EL FATINI    

Universidad Mohamed V, Rabat

Abstract. We derive a residual a posteriori error estimator for the multiscale stabilization of convective dispersive transport equation. The estimator yields upper bound on the error which is global and lower bound that is local. Numerical studies show the behaviour of the error indicator and how it is robust to deal with singularities (Joint work with B. Achchab, A. Ern and A. Souissi).

 Eigenspace of invariant Laplacian `D_ab on the bidisk

(Com.)

Fouzia EL WASSOULI          

Université Ibn Toufail, Kenitra

Abstract. Let `D<sub>ab</sub> be the casimir operator on the unit disk D respect to a projective representation T<sup>ab</sup>  of the group SU(1, 1) on function of D. In this paper we give a complete description of the eigenspace of the operator `D_ab = D¹_ab + D²_ab on the bidisk D´ D using a generalization of the Poisson transform, where the subscipts D¹_ab (resp. D²_ab) indicate action on the first (resp. second) variable. Also we characterize the eigenfunctions of D_ab that are Poisson integrals of L²-functions on two circles S¹ ´ S¹.

Méthodes nodales des éléments finis non conformes généralisées pour la résolution des équations de diffusion (Com.)

Najib GUESSOUS           

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès  

An Efficient Treatment Strategy for Hepatitis B Viral Patients Using Optimal Control (Com.)

Khalid HATTAF     

Université Hassan II-Mohammedia, Casablanca       

Abstract. Infection with the hepatitis B virus (HBV) is a major health problem, which can lead to cirrhosis and primary hepatocellular carcinoma (HCC). More than 2 billion people alive today have been infected by HBV. The population of HBV carrier is about 400 million, of whom 75 are located in Asia. Accordingly, HBV causes approximately 1 million deaths each year worldwide. In China alone, nearly 15 million new infections occur annually, more than 30 million people are chronically infected, and more than 350 thousand of them die each year from cirrhosis and HCC. In this paper, we present a mathematical model of Hepatitis B Viral (HBV) (Joint work with M. Rachik, S. Saadi and N. Yousfi).  

A new approach to some Sobolev inequalities (Com.)

Aziz LAARIBI             

Université Hassan II-Mohammedia, Casablanca

Abstract. Using eigenvalues and eigenfunctions of −D with homogeneous Dirichlet boundary conditions on ¶W, where W is a parallelepiped of IRⁿ, we prove some Sobolev injections (Joint work with Naceur Achtaich and Mohamed Aamri).

Key words : Sobolev injections. Parallelepiped. Eigenvalues and eigenfunctions. Poisson’s operator.

Hidden potential symmetries for some diffusion equations  (Com.)

Maria LUZ GANDARIAS          

Université de Cádiz (Espagne)    

Abstract. For a given partial differential equation (PDE), a potential variable can be introduced through a conservation law. Such a conservation law yields an equivalent system (potential system) with the given dependent variable and the potential variable as its dependent variable. The Lie classical method applied to the potential system can yield new solutions of a given PDE that are unobtainable as invariant solutions from admitted point symmetries of the given PDE. In this work hidden potential symmetries that seem not to be recorded in the literature are determined, for some diffusion equations, by considering a generalized potential system.

Comparison between two numerical methods for contaminant transport in a homogenous isotropic medium (Com.)

Khadija ZINE DINE         

Université Hassan II-Mohammedia, Casablanca      

Abstract. The aim of this work is to present a comparison between two methods: a combined mixed finite element-finite volume scheme and the finite difference method for the resolution of a coupled system describing the pollutant migration in a homogenous isotropic medium. The coupled system includes an elliptic equation (pressure-velocity) and a linear convection-diffusion (concentration equation). The Mixed finite element method is employed for the approximation of the pressure-velocity equation and the finite volume scheme is used for the discretization of the concentration equation. The finite volumes scheme considered here is "vertex centred" type semi-implicit: explicit for the convection and implicit for the diffusion. This scheme satisfies a discrete maximum principle and L^∞ stable under appropriate C.F.L condition. The finite difference scheme with a fine mesh is used for discretized the coupled system. We use the successive overrelaxation method (SOR) for solving the pressure equation and we apply the alternating directions implicit (ADI) method to the convection-diffusion equation. The numerical simulations show that the combined mixed finite element-finite volume method is better than the finite difference method (Joint work with Naceur Achtaich and Mohamed. Chagdali).

Section de Géométrie et Topologie

Symplectic Geometry (Cours)

Vicente MUÑOZ VELÁZQUEZ  

Conseil Supérieur des Recherches Scientifiques (Espagne)

Abstract. Symplectic manifolds are manifolds endowed with a non-degenerate closed 2-form. Therefore a Kähler manifold is a complex manifold which is also symplectic. Understanding the relationship between Kähler geometry and symplectic geometry is an area of very active research. On the other hand, analytic techniques, like the pseudo-holomorphic curves of the asymptotically holomorphic theory, have allowed to extend results from Kähler to symplectic geometry. On the other hand, many recent different constructions of symplectic manifolds, which are of topological nature, have produced new topological types of symplectic but non-Kähler manifolds.

Cohomologie des formes divergences et actions propres d’algèbres de Lie (Cf.)

Abdelhak ABOUQATEB

Université Cadi-Ayyad,

Faculté des Sciences et Techniques, Marrakech

Résumé. Dans les études géométriques et topologiques, la cohomologie joue un rôle fondamental (cohomologie de De-Rham, cohomologie singulière, cohomologie bornée, cohomologie des groupes, cohomologie de Hochschild, cohomologie cyclique, cohmologie feuilletée, cohomologie de Poisson). Selon la nature du problème étudié et en fonction des propriétés de la cohomologie introduite, on peut mettre en place des théorèmes importants (d’annulation, d’obstruction, d’indice, de résidus, de classification). Notre exposé s’articule autour de l’étude d’une cohomologie liée aux actions d’algèbres de Lie sur les variétés différentiables (cf. [1])). Dans ce qui suit nous allons présenter avec un peu plus de détails un résumé. Soit G une algèbre de Lie de dimension finie et soit M une variété différentiable. M est dite G-variété s’il existe un homomorphisme d’algèbres de Lie t : G ® V(M) de G vers l’algèbre de Lie des champs de vecteurs sur M. Soit M une G-variété quelconque. On désigne par W_c^r(M) l’espace des r-formes à support compact sur M. Le sous-espace de W_c^r(M) engendré par les formes L_Xa avec aÎW_c^r(M) et XÎt(G) sera noté : C_t^r(M); c’est ce que l’on appellera espace des r-formes t-divergences. L’espace vectoriel gradué : C_t^*(M) := Å_rC_t^r(M), est stable par la différentielle usuelle. La cohomologie du complexe ainsi obtenue, H_t^*(M) := H*(C_t*(M), d), sera appelée la cohomologie des formes t-divergences. Evidement, cette cohomologie ne dépend pas seulement de la topologie de M mais aussi de la nature de l’action. Il s’agit alors de d’écrire quelques règles de calculs de cette cohomologie : traiter des exemples, montrer que la cohomologie des formes divergences est un invariant d’un type d’homotopie qu’on appellera homotopie G-propre, et que la technique de la suite exacte de Mayer-Vietoris s’applique modulo l’existence d’une partition de l’unit´e G-invariante. Nous nous sommes aussi intéressés à la question d’intégrabilité d’une action d’algèbre de Lie en une action propre de groupe de Lie. En effet, depuis un fameux travail de Palais, on sait qu’intégrer une action d’algèbre de Lie en une action de groupe de Lie (sans contraintes topologiques) est possible dès que la G-action est faiblement complète. D’un autre côté, les divers travaux entrepris sur les actions propres de groupes de Lie nous ont menés à poser la question naturelle suivante :”Etudier l’intégrabilité d’une action d’algèbre de Lie en une action propre de groupe de Lie ?” ce qui nous semble être d’un grand intérêt pour des questions d’analyse globale ou de la théorie des systèmes dynamiques. On dira alors que M est une G-variété propre si la G-action t est l’action infinitésimale d’une action propre de groupe de Lie ; la G-action sera alors appelée une G-action propre ou action propre de l’algèbre de Lie G. Pour la classe des G-variétés propres, nous avons étudié la cohomologie des formes divergences: Nous montrons l’existence d’une suite exacte longue de cohomologie reliant la cohomologie des formes divergences et la cohomologie des formes G-semi-invariantes à support G-compact.

  
Références

 
[1] A. Abouqateb, Cohomologie des formes divergences et Actions propres

     d’algèbres de Lie. Journal of Lie Theory 17 (2007), No. 2, 317-335.

[2] A. Abouqateb et M.-T. Benameur, Cohomologies continues pour les actions

     propres. Cohomologies continues pour les actions propres. Ann. Sci. Math.

     Québec. 30 (2006), no 1, 1-27.

[3] A. Abouqateb, Courants invariants par une action propre. Manuscripta

     Math. 98 (1999) 349-362.

[4] A. Abouqateb et A. El Kacimi, Fonctionnelles invariantes et courants

     basiques. Studia Mathematica 143 (3) (2000), 199-219.

Géométrie riemanienne des algébroides de Lie (Cf.)

Mohamed BOUCETTA

Université Cadi-Ayyad,

Faculté des Sciences et Techniques, Marrakech

Résumé. Dans cet exposé on introduit la notion d’algébroide de Lie riemanienne comme généralisation des variétés riemaniennes et on montre que tous les outils classiques connus en géométrie riemanienne se généralisent dans ce nouveau contexte. On donnera aussi quelques résultats sur l’intégrabilité d’une algébroide de Lie riemanienne.

Multisymplectic geometry and classical field theories (Cf.)

Juan Carlos MARRERO GONZÁLEZ   

Université de La Laguna (Espagne)

Abstract. In this talk, I will present some recent contributions about the mathematical formulation of classical field theories using the multisymplectic geometry.

Une Conjecture de l'Homotopie Rationnelle (Cf.)

Moulay Ismail MAMOUNI

Université Hassan II-Ain Chock, Casablanca

Résumé. Les CW complexe finis 1-connexes, notés ci-après X, se divisent en deux classes:

• Les CW complexes elliptiques tels que dim p_*(X)ÄQ < ∞.

• Les CW complexes *hyperboliques tels que p_*(X)ÄQ = ∞.

La cohomologie rationnelle H^*(X;Q) d’un espace elliptique X est à dualité de Poincaré et sa charactéristique d’Euler, c vérifie c ≥ 0. Bien que les espaces elliptiques jouissent de propriétés très spécifiques (nous en verrons d’autres au cours de cet exposé) ce sont ceux que l’on rencontre le plus couramment en géométrie différentielle (Groupes de Lie, espaces homogènes, ...). R. Bott a conjecturé vers les années 1980 que :

Conjecture B. Toute variété riemannienne compacte 1-connexe sans bord dont la courbure sectionnelle est toujours ≥ 0 est un CW complexe elliptique.

   Cette conjecture non résolue jusqu’à nos jours, a été partiellement demontrée par G. Paternain en 1992. Dans mes travaux de recherche je me suis intéressé à la conjecture suivante, emise par M.R. Hilali en 1990.

Conjecture H. Pour tout CW complexe elliptique, 1-connexe X, on a:

dim p_*(X)ÄQ ≤ dim H^*(X;Q).

Ensemble on a résolu la conjecture dans les cas suivants:

• Espaces formels.

• Espaces purs: Groupes homogènes, ...

• H-espaces: Groupes topologiques, ... (H=Hopf).

• Variétés symplectiques: Variété de Kahler

• Variétés cosymplectiques.

• Nilvariétés.

• Dans d’autres situations, avec des hypothèses supplémentaires.

Topological robotics ans rational homotopy (Cf.)

Aniceto MURILLO MAS

Université de Málaga (Espagne)

Abstract: Motion planning of a given configuration space is an important research area in robotics in which topological methods can be applied. With the aid of rational homotopy theory, we shall compute the topological complexity of certain configuration spaces and show how difficult, from the computational point of view, is to design these motion planners.

Caractérisation de certains groupes d'homéomorphismes (Cf.)

Ezzedine SALHI

Faculté des Sciences de Sfax (Tunisie) 

Résumé. Kérékjartó (1931) a défini les homéomorphismes réguliers, Gottschalk (1955) a défini les homéomorphismes presque périodiques et les homéomorphismes régulièrement presque périodiques. Un homéomorphisme h d'un espace métrique (E, d) sur lui-même est dit régulier si le groupe {hⁿ:nÎZ} est équicontinu en tout point, il est presque périodique (p.p.) si pour tout e>0, il existe un entier naturel non nul p tel que tout bloc à p itérés consécutifs contient un élément hⁿ satisfaisant d(hⁿ(x),x) £ e, pour tout x dans E. L'homéomorphisme h est dit régulièrement presque périodique (r.p.p.) si pour tout e>0, il existe un entier naturel non nul p tel que pour tout entier naturel n et pour tout x dans X on a d(h^np(x), x) £ e. Plusieurs auteurs ont  étudié ces homéomorphismes lorsque E est une surface connexe. Par exemple, Gottschalk a montré que si E est une surface connexe alors tout homéomorphisme r.p.p. est périodique et B. Beverly a montré qu'un homéomorphisme p.p. du plan euclidien dans lui même est périodique. Récemment, en réecrivant les travaux de Kérékjartó les auteurs B. Kolev et C. Bonatti ont classifié les homéomorphismes réguliers définis sur les surfaces compactes connexes. D’une manière générale, les questions suivantes sont naturelles:
 

1) Un homéomorphisme p.p. h: Rⁿ ® Rⁿ (où Rⁿ est l'espace euclidien) est-il périodique ?

2) Un homéomorphisme r.p.p. h: M ® M (où M est une variété compacte connexe) est-il périodique ? 

3) Caractérisation des homémorphismes réguliers et plus généralement des groupes compactes d'homéomorphismes d'une variété connexe.

 Dans cet exposé, après avoir rappelé quelques résultas classiques, nous donnons des résultats obtenus récemment concernant les éléments d'un groupe compact de difféomorphismes et les homéomorphismes réguliers de l'espace eucliden Rⁿ. Nous construisons aussi des exemples d'homéomorphismes périodiques par point sur des espaces métriques compactes connexes où la plus part de ces résultats tombent en défaut; ce qui montre que la notion de variété est nécessaire.

Unimodality and recurrence relation for arrays of Pascal triangle (Com.)

Hacène BELBACHIR     

U.S.T.H.B., Alger, Algérie

Abstract. Our purpose is to establish the unimodality of arrays of Pascal triangle and to give the corresponding recurrence relation associated to sums lying on the corresponding arrays.   

Sur le groupe d'holonomie des variétés pseudo-riemaniennes (Com.)

Aziz Ikemakhen

Université Cadi-Ayyad,

Faculté des Sciences et Techniques, Marrakech

Résumé. Soit (M;g) une variété pseudo-riemannienne connexe de signature (p;q). Il existe une unique connexion métrique sans torsion D, dite la connexion de Levi-Civita de (M; g). D définit alors le transport parallèle le long de toute courbe dans M. Etant donné un point x de M, le groupe d'holonomie H_x est le sous-groupe du groupe orthogonal O(T_xM; g_x) engendré par les transports parallèles le long de tous les lacets en x. Si on considère seulement les lacets homotopes à x, on définit alors le groupe d'holonomie restreint H⁰_x. Les groupes d'holonomie (restreints) en tous les points de M sont conjugués, et donc, à conjuguaison près, on peut parler du groupe d'holonomie (restreint) de (M; g). Si (M; g) est une variété simplement connexe, le groupe d'holonomie et le groupe d'holonomie restreint sont égaux. Le groupe d'holonomie est un invariant géométrique de la variété. Il mesure les tenseurs parallèles le long de la variété. Grâce à cet objet algébrique fondamental H, on peut distinguer les différentes géométries (géométrie kählerienne, kählerienne spéciale, hyperkählerienne, quaternonnienne-kählerienne-, générique, exceptionnelle, etc...). Ainsi, si on a des renseignements (algébriques) sur le groupe d'holonomie, on peut les lire géométriquement sur la variété. D’où l’intérêt de l’étude du groupe d’holonomie. C’est l’objet de notre conférence.

Special structures in geometry and heterotic string theory (Com.)

Raquel VILLACAMPA

Université de Saragosse (Espagne)

ABSTRACT. We will show new explicit compact valid solutions with non-zero field strength and constant dilaton to the heterotic string equations in dimensions 6, 7 and 8.  We Hill present special structures on compact nilmanifolds in dimensions 6, 7 and 8 satisfying the heterotic supersymmetry equations with non-zero flux and constant dilaton which obey the three-form Bianchi identity with curvature term taken with respect to either the Levi-Civita connection, the connection with totally skew-symmetric torsion and, in dimension 6, the Chern connection. Moreover, some of these solutions also solve the heterotic equations of motion. (Joint work with M. Fernández, S. Ivanov and L. Ugarte.)